Guía resuelta de Análisis Matemático 66 CBC Cátedra Gutierrez (Única)

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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC

CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5: Derivada

EJERCICIO 1

Justifique, por medio de los cocientes incrementales, las siguientes igualdades

f(x)=7 \Longrightarrow f^{\prime}(x)=0

f(x)=3 x+5 \Longrightarrow f^{\prime}(x)=3

f(x)=(x+1)^2 \Longrightarrow f^{\prime}(4)=10

f(x)=\frac{1}{x} \Longrightarrow f^{\prime}(2)=-\frac{1}{4}

f(x)=\sqrt{x+5} \Longrightarrow f^{\prime}(4)=\frac{1}{6}

EJERCICIO 2

Halle, usando el cociente incremental, el valor de la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican. Escriba la ecuación de la recta tangente en esos mismos puntos

f(x)=4 x+7

, en

x=3

f(x)=\frac{2}{x-1}

, en

x=5

f(x)=\sqrt{x+12}

, en

x=13

f(x)=\ln (x)

, en

x=1

EJERCICIO 3

¿En qué punto de la gráfica de la función $f(x)=x^{2}-6 x+8$ la recta tangente es paralela al eje $x$ ?

EJERCICIO 4

Sean $f(x)=3 x^{2}+x$ y $g(x)=5 x+2$ . Encuentre el punto en el cual las rectas tangentes de $f$ y $g$ resultan paralelas. Halle las correspondientes ecuaciones.

EJERCICIO 5

Usando las reglas de derivación, halle las derivadas de las siguientes funciones en su dominio de definición

f(x)=x^{3}+x^{2}+\operatorname{sen}(x)

f(x)=x^{2} \cos (x)

f(x)=3 \operatorname{sen}(x)

f(x)=x \ln (x)

f(x)=x^{5}+\frac{1}{x}

f(x)=e^{x}+\ln (x)

f(x)=x \operatorname{sen}(x)+e^{x} \cos (x)

f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}

f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos (x)}

f(x)=(x+2)(x^{2}+1) \ln (x)

f(x)=\frac{x \ln (x)}{x^{2}+1}

EJERCICIO 6

Usando la regla de la cadena, halle las derivadas de las siguiente funciones en su dominio de definición

f(x)=(1+x)^{2}

f(x)=(1+x)^{3}

f(x)=(1+x)^{2001}

f(x)=e^{x+3}

f(x)=(1-x)^{3}

f(x)=\cos (3 x)

f(x)=3 \operatorname{sen}^{4}(x)

f(x)=\ln (x+1)

f(x)=\ln (2+\operatorname{sen}(x))

f(x)=e^{x^{2}+\cos (x)}

f(x)=\ln ^{2}(x^{2}+1)

f(x)=\ln (5 x)

f(x)=\frac{(2 x^{3}+3)^{2}}{\ln (x^{2}+1)}

f(x)=\sqrt{4+5 x^{2}}

EJERCICIO 7

Sean $f$ y $g$ funciones tales que $f(x)=1+\sqrt{x}, g^{\prime}(x)=\cos ^{2}(3 x)+1$ y $g(0)=4$ . Calcule $(f \circ g)^{\prime}(0)$ y $(g \circ f)^{\prime}(0)$ .

EJERCICIO 8

Calcule la derivada de la función en su dominio de definición, siendo $f(x)=$

x^{x}

x^{3 x}+2^{x}

(\operatorname{sen}^{3}(x))^{\ln (x)}

x^{\sqrt{x}}

EJERCICIO 9

Pruebe que la función $f(x)=7 e^{k x}$ es solución de la ecuación $f^{\prime}(x)=k f(x)$ .

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